数学备考应树立三个目标意识

• 2023-02-10 09:07:12 来源：中国教育报

(资料图片仅供参考)

构建完整知识体系、增强求变转化意识是备考复习的重要目标，也是数学解题策略的实施要求。每一道数学问题的解答，都必须联系已学知识、已解问题与已有的方法经验，需要解答者熟稔掌握数学知识与问题的关系结构，根据知识与问题间的联系，将待解问题化简、转化为已解问题或可应用已学知识的问题。所以，深度的数学备考复习，要总结应试必备的思维策略方法，更要着力研究知识与问题的关系结构，着重凝练化简与转化思想。因此，在复习备考时必须具有以下三个目标意识。

知识系统化——

立足基础突出主干，构建完整知识体系

历年高考数学对解析几何、函数与导数、向量与几何、概率与统计等核心模块的考查，中考数学对平面几何基本图形关系与二次函数问题等主要知识的考查，都是深入、系统的。因此，复习中要重视主干知识的地位与作用，经常围绕主干进行知识与问题的关系建构，将主体知识的系统化作为备考关键内容。数学的具体概念、法则、定理、公式、方法、问题都是相互关联的，深度的复习要掌握知识生成与论证的纵向关系，也要理解不同章节甚至不同学科知识间的横向关联，还要熟练掌握由数学知识链密集交汇而形成的与众多知识问题有直接关联的“簇知识”。日常学习要认真研究知识与问题的关系，复习时不仅要进一步明确并掌握知识与问题的关系，还要注重研究知识与问题的整体结构，以形成对知识与问题的“结构性理解”，进而实现知识系统化这一具有扎根筑基性质的学习目标。

知识系统化是分析与解决数学问题的思维基础。著名数学家乔治·波利亚在其《怎样解题》一书中指出，解题在“拟定计划”环节，可考虑：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？这些思考告诉我们，解题时应通过联想，把问题置于与之相关联的知识与问题系统中，从问题与已学知识、已解问题的联系入手综合思考，可称之为解题思维的“系统原则”。这个原则揭示了解题思维的基本规则，适用于所有数学问题的解答，也适用于所有非数学问题的解答。成功的解题需要有一个知识与问题的系统关系网，网中的知识与问题越有序、精细无漏洞，越有利于迅捷联想与顺利转化，关系网越大，转化的路径与方法也越多。

方法思想化——

运算推理两翼并重，增强求变转化意识

运算与推理是解证数学问题时实现化简、化归的主要手段，也是解答数学高考试题的关键能力，二者在解题过程中经常共同合作、相互推进，在备考复习中应充分重视。具体的运算与推理方法很多，深度的备考复习要注重理解蕴含在每一个方法中的求变意识与化归思想，以使众多方法在被归结成同一思想后更易于认识与理解，并能用单一的思路简易处理各类繁杂问题。深度的复习，要增强将问题转化为已解问题与已知知识的意识，也要在使用各种方法时多感悟方法的化简与化归功能，要回顾思维路径，看清转化化归的过程，还要从中总结方法经验和一般化的解题策略原则。日常解题中要着力研究解题的基本方法，而复习时不仅要进一步熟练运用已知方法，还要注重通过一题多解、多题归一、多法归一等方式掌握问题间的关系与结构，并从中凝练出归结众多方法处理大量问题的数学思想，进而达成方法思想化这一具有高位统摄性质的学习目标。

概括运算与推理方法的转化化归思想，是分析与解决数学问题的思维利器。波利亚指出，解题在拟定计划时，要思考：你能不能用不同的方法重新叙述它？如果你不能解决所提出的问题，可否先解决一个与此有关的问题？你能不能想出一个更容易着手的有关问题，一个更普遍的问题，一个更特殊的问题，一个类比的问题？这些思考告诉我们，解题时应借助联想中得到的知识与问题的关系进行命题变更，化抽象为直观、化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉等，可称之为解题思维的“多变原则”。这个原则揭示了解题思维的另一个基本规则，也适用于所有问题的解答，解题中的因果、数形、整零、和积与动静等转换，配方、消元、换元、反证等方法，都是转化化归思想和这个原则的特殊体现。成功的解题需要能指导思维方向的数学思想，思想越有概括性，越可将众多的知识与问题归结到简单范畴进行统一认识与思考，也越易于将其融会贯通地应用在更多类别的解题过程中。

思维策略化——

通法为主特技为辅，力促解证周密有序

思维策略是影响考试解题成败的一个关键因素，需要在备考复习中予以充分关注。一般来说，“会而不对”是导致考试不理想的主要原因，考试解题时应将试卷问题分为难、中、易三类，对困难问题采用回避、暂不思考或尽力寻找可得分点等策略，对中、易题采用通法为主特技为辅、以确保万无一失的策略。在数学运算与推理中，为规避常规错误的发生，多运用熟悉的通用的方法，不用或少用不熟悉的特殊技巧，是解题思考时要遵循的“正合原则”。“正合原则”对数学中、高考试题解答的重要启示是：解题时不可不着边际无目标地思考，而应从条件与结论出发，结合已学知识与已有经验，先联想解决同类问题的常规思路，在找不到常规思路或所找思路难以实施时，再寻求特殊的可出奇制胜的方法。数学高考中的大部分试题都可以用通法解答，对少部分难题可采用适当回避策略，这与日常练习中“乐解难题”的思路正好相反，但并不矛盾。

数学难题解答中“会而不对”的现象很常见，因而是备考复习和考场发挥时最需要关注的问题。要克服轻慢与疏忽的心理弱点，力促解证周密有序，做到周而不疏、密而不漏，这是解题思考时应遵行的“缜密原则”。《怎样解题》在“弄清问题”“拟定计划”“实行计划”“回顾反思”环节，也给出了许多建议，如：希望解题者能注意分辨清楚未知数、已知数据、条件各是什么，整体关注包含在问题中的所有概念，看是否已利用了所有已知数据和条件，并懂得检验每一个步骤，直到能清楚看出并能证明其是正确的，等等。因此，考生备考复习要努力强化缜密的思维习惯，在考试中能有意识地在易错环节放慢速度，有条不紊、步步有据地进行运算与推理，能在解答后懂得检验一些可疑的运算与推理步骤，尽力减少日常考试中常见的“会而不对”现象。

总之，以上三个目标意识，都是数学解题策略的实施要求。“系统原则”倡导的是以联系的观点审视问题，要求备考复习应有知识系统化的目标意识。“多变原则”倡导的是以运动变化的观点处理问题，要求备考复习应有方法思想化的目标意识。而“正合原则”“缜密原则”指出的则是考试答题的时间与精力分配策略问题，要求备考复习应有思维策略化的目标意识。同时，由于数学高考试题中的偏、难、怪题始终是极少数的，备考复习也应针对这一特点，制定好学习时间分配策略，集中加强主干知识与基本思想方法的学习，并针对日常的薄弱环节与常犯错误，对高考中难题型进行深入研究。

（作者系福建教育学院数学研修部副教授）

《中国教育报》2023年02月10日第3版

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